Intégration 1 : énoncés des TD

Avec Jérôme Demange et Pierre Schramm, nous assurons les TD du cours d'Intégration 1 d'Albert Fathi qui s'adresse aux élèves de L3 de l'école (du département de maths mais aussi de ceux d'informatique et de physique).

Voici les énoncés des feuilles de TD, assortis de quelques corrigés (principalement des exos que je n'ai pas corrigés en TD). Merci de m'envoyer par mail toutes vos remarques (mathématiques ou non).

• TD 1 : σ-algèbres
  • la preuve que sur {0,1}^N, tribus borélienne et cylindrique coïncident ;
  • la correction des deux derniers exercices de la feuille (tribus sur les ensembles dénombrables et tribus dénombrables).
• TD 2 : Mesures
  • la preuve que la mesure nulle est la seule mesure localement finie invariante par translation sur C([0,1],R).
• TD 3: Fonctions mesurables, limites inférieure et supérieure
  • la correction de l'exercice 4 « Oscillation et classes de Baire. »
  • la correction par Jérôme Demange de l'exercice 7 « Ensembles analytiques. »
• TD 4: Intégrale de Lebesgue
  • la correction des questions (d) et (e) de l'exercice 8 « Convergence en mesure » et de l'exercice 1 du TD 5 « Complétude de L⁰ » : on y construit deux distances sur l'espace L⁰ des fonctions boréliennes à égalité presque partout près qui définissent la convergence en mesure et pour lesquelles L⁰ est complet.
• TD 5: Lebesgue : intégrale, mesure ; nullité presque partout.
• TD 6: Théorèmes et espaces de Lebesgue.